\subsubsection{Übung ii \buchmann{8.6.2}}

Die Anzahl der Primzahlen bis einschließlich \( x = 100 \) ist
\[
 \pi \left( 100 \right) = 25
\]
denn es sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 prim.

Da \( x = 100 \ge 17 \) gilt für die untere Schranke
\[
 \pi \left( 100 \right) > \frac{100}{\log \left( x \right)} > 21.7
\]
mit log natürlicher Logarithmus zur Basis \( e \).

Da \( x = 100 > 1 \) gilt für die obere Schranke
\[
 \pi \left( 100 \right) < 1.25506 \cdot \left( \frac{100}{\log \left( x \right)} \right) < 27.2533
\]

Für genügend große \(n\) gilt \(\pi \left( n \right) \approx \frac{n}{\log(n)} \).
